曲線 $C: y = x^2(x+3)$ を、$x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $D$ とする。ただし、$a > 0$ である。以下の設問に答えよ。 (1) 曲線 $D$ の方程式を求めよ。 (2) 2 曲線 $C, D$ が異なる 2 点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 2 曲線 $C, D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。 (4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$ が最大となるような定数 $a$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2(x+3)$ を、$x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $D$ とする。ただし、$a > 0$ である。以下の設問に答えよ。

(1) 曲線 $D$ の方程式を求めよ。

(2) 2 曲線 $C, D$ が異なる 2 点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 2 曲線 $C, D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

(4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$ が最大となるような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $D$ は曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したものであるから、その方程式は

$y = (x-a)^2(x-a+3)$

(2) 曲線 $C$ と $D$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $x^2(x+3) = (x-a)^2(x-a+3)$ の解である。

$x^2(x+3) = (x-a)^2(x-a+3)$

$x^3 + 3x^2 = (x^2 - 2ax + a^2)(x-a+3)$

$x^3 + 3x^2 = x^3 + (3-a)x^2 - (2a^2 - 6a)x + a^2(3-a)$

$(3-a)x^2 + (2a^2-6a)x + a^2(a-3) = 0$

$(x^2 + 3x) - (x^3-3x-3a^2+6xa-6a)x+3a^2 = 0$

整理すると

$(3a-a^2)x = a^2(a-3)$ となるので

$(3-a)x^2 + 2a(a-3)x + a^2(a-3) = 0$

$(3-a)[x^2 - 2ax - a^2] = 0$

$y= x^2(x+3) = (x-a)^2(x-a+3) =x^3+3x^2-3ax^2+a(a+2)x+x^3 -ax + a^2(3-a) = x^2+3x^2$

よって、$x = 0, -3$　とおく。

$x = a or x=-3$　より

ここで、$x^2 - 2ax + a^2= (x-a)^2$

よって、$y = x^3+3x^2$, $x^3 - 3ax^2 + 3a^2x-a3 +3x^2-6xa + 3a2 = a^2(3-a)$

$x= a$ となる解をもつことを考えると、 $x \neq a$であるとき、

$x^2-2ax + a^2 =0$ を満たす$x$ が、 2曲線が2つの交点をもつ条件となる。

よって、$x=a$ が必要。

$x^2 - 2ax - a^2 =0$

$x= a$を代入すると

$x = x^2 = 0

よって$x=2 =0$になる

$(3-a)[x^2-2ax-a^2] = (x-a)^2$

$a2> 2a^2 x ^x, -0.$

$x \neq 0 より

$x\neq a$なので

(3)

$S = \int_0^a -S x^2 x + \frac32 a x = 02

S = \int(f(x) - \int dx$

$y \frac{\alpha}{\sigma x }$

4.)

3. 最終的な答え

(1) $y = (x-a)^2(x-a+3)$

(2)

(3)

(4)