与えられた4つの関数について、そのグラフを描く問題です。関数は以下の通りです。 a) $f(x) = e^x + 3$ b) $f(x) = 2 \cdot 3^{-x}$ c) $f(x) = \log_{1/2}(4x)$ d) $f(x) = \ln x$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、そのグラフを描く問題です。関数は以下の通りです。

a) $f(x) = e^x + 3$

b) $f(x) = 2 \cdot 3^{-x}$

c) $f(x) = \log_{1/2}(4x)$

d) $f(x) = \ln x$

2. 解き方の手順

各関数のグラフを描くために、以下の手順で考えます。

a) $f(x) = e^x + 3$

* $y = e^x$ のグラフは、指数関数であり、$x$ が大きくなるにつれて急激に増加します。また、$x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$ となります。

* $f(x) = e^x + 3$ は、$y = e^x$ のグラフを $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したものです。したがって、グラフは $y = 3$ を漸近線とし、$x$ が大きくなるにつれて増加する指数関数となります。

b) $f(x) = 2 \cdot 3^{-x}$

* $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ のグラフは、指数関数であり、$x$ が大きくなるにつれて急激に減少します。また、$x \to -\infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。

* $f(x) = 2 \cdot 3^{-x}$ は、$y = 3^{-x}$ のグラフを $y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大したものです。したがって、グラフは $x$ が大きくなるにつれて減少する指数関数であり、常に正の値をとります。

c) $f(x) = \log_{1/2}(4x)$

* $y = \log_{1/2} x$ は、$0 < x \le 1$ で正の値を取り、$x$ が大きくなるにつれて減少する対数関数です。

* $f(x) = \log_{1/2}(4x)$ は、$y = \log_{1/2} x$ のグラフを、$x$ 軸方向に $\frac{1}{4}$ 倍に縮小したものです。真数条件より、$4x > 0$ なので、$x > 0$。

また、$f(x) = \log_{1/2}4 + \log_{1/2}x = \log_{1/2}4 + \log_{1/2}x = -2 + \log_{1/2}x$。これは$y=\log_{1/2}x$をy軸方向に-2平行移動したものである。

d) $f(x) = \ln x$

* $y = \ln x$ は、自然対数関数であり、$x > 0$ で定義されます。$x$ が大きくなるにつれて増加しますが、増加の割合は徐々に小さくなります。$x=1$ で $y=0$ となり、$x \to 0$ で $y \to -\infty$ となります。

3. 最終的な答え

それぞれの関数のグラフの概形は以下の通りです。

a) $f(x) = e^x + 3$: $y = 3$ を漸近線とする指数関数。

b) $f(x) = 2 \cdot 3^{-x}$: $x$ 軸を漸近線とする指数関数。

c) $f(x) = \log_{1/2}(4x)$: $y$軸に漸近し、 감소する対数関数。

d) $f(x) = \ln x$: $y$ 軸に漸近し、増加する対数関数。

それぞれのグラフを正確に描画するには、いくつかの代表的な点の座標を計算し、それらをつなぐ滑らかな曲線を描く必要があります。