与えられたべき級数展開 $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ （ただし $|x| < 1$）を利用して、以下の関数のべき級数展開を求め、また、次の関数のマクローリン級数を求めます。 [1] (1) $\frac{1}{1+2x}$ (2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$ (3) $\log(1+2x)$ [2] (1) $y = e^{-3x}$ (2) $y = \frac{1}{1-2x}$ [3] (1) $\cos 3x$ (2) $e^{-x}$ (3) $\sin 3x$ (4) $\log(1-x^2)$

1. 問題の内容

与えられたべき級数展開 $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ （ただし $|x| < 1$）を利用して、以下の関数のべき級数展開を求め、また、次の関数のマクローリン級数を求めます。

[1]

(1) $\frac{1}{1+2x}$

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$

(3) $\log(1+2x)$

[2]

(1) $y = e^{-3x}$

(2) $y = \frac{1}{1-2x}$

[3]

(1) $\cos 3x$

(2) $e^{-x}$

(3) $\sin 3x$

(4) $\log(1-x^2)$

2. 解き方の手順

[1]

(1) $\frac{1}{1+2x}$ のべき級数展開：

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ において $x$ を $2x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1+2x} = 1 - (2x) + (2x)^2 - (2x)^3 + \dots = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n x^n$.

収束条件は $|2x| < 1$, つまり $|x| < \frac{1}{2}$.

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$ のべき級数展開：

$\frac{1}{(1+2x)^2}$ は $\frac{1}{1+2x}$ を微分したものに $-2$ をかけたものです。

つまり、 $\frac{1}{(1+2x)^2} = -\frac{1}{2}\frac{d}{dx} \frac{1}{1+2x}$.

$\frac{1}{1+2x} = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots$ を微分すると

$\frac{d}{dx} \frac{1}{1+2x} = -2 + 8x - 24x^2 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (2^n) n x^{n-1}$.

したがって

$\frac{1}{(1+2x)^2} = -\frac{1}{2} (-2 + 8x - 24x^2 + \dots) = 1 - 4x + 12x^2 - \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n (2)^{n-1} 2 x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$.

収束条件は $|x| < \frac{1}{2}$.

(3) $\log(1+2x)$ のべき級数展開：

$\frac{d}{dx} \log(1+2x) = \frac{2}{1+2x} = 2 (1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots)$.

$\log(1+2x) = \int \frac{2}{1+2x} dx = \int (2 - 4x + 8x^2 - 16x^3 + \dots) dx = 2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^n}{n} x^n$.

収束条件は $|x| < \frac{1}{2}$.

[2]

(1) $e^{-3x}$ のマクローリン級数：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n x^n}{n!} = 1 - 3x + \frac{9x^2}{2!} - \frac{27x^3}{3!} + \dots$.

(2) $\frac{1}{1-2x}$ のマクローリン級数：

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

$\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$.

[3]

(1) $\cos 3x$ のマクローリン級数：

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

$\cos 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n} x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{9x^2}{2!} + \frac{81x^4}{4!} - \frac{729x^6}{6!} + \dots$.

(2) $e^{-x}$ のマクローリン級数：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$.

(3) $\sin 3x$ のマクローリン級数：

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} = 3x - \frac{27x^3}{3!} + \frac{243x^5}{5!} - \dots$.

(4) $\log(1-x^2)$ のマクローリン級数：

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\log(1-x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (-x^2)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (-1)^n x^{2n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-x^{2n}}{n} = -x^2 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3} - \dots$.

3. 最終的な答え

[1]

(1) $\frac{1}{1+2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n x^n$

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$

(3) $\log(1+2x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^n}{n} x^n$

[2]

(1) $e^{-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n x^n}{n!}$

(2) $\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$

[3]

(1) $\cos 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n} x^{2n}}{(2n)!}$

(2) $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

(3) $\sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(4) $\log(1-x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-x^{2n}}{n}$