関数 $f(x)$ の $x=2$ における微分係数が $3$ であるとき、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h)-f(2-3h)}{h}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ の $x=2$ における微分係数が $3$ であるとき、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h)-f(2-3h)}{h}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義より、$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = 3$ が与えられています。

求める極限の分子に $f(2)$ を足し引きします。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h)-f(2-3h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h) - f(2) + f(2) - f(2-3h)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h)-f(2)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(2)-f(2-3h)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(2+4h)-f(2)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(2-3h)-f(2)}{-h}$

$= \lim_{h \to 0} 4 \cdot \frac{f(2+4h)-f(2)}{4h} + \lim_{h \to 0} 3 \cdot \frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}$

ここで、$k=4h$ および $l=-3h$ と置くと、$h \to 0$ のとき $k \to 0$ かつ $l \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{h \to 0} 4 \cdot \frac{f(2+4h)-f(2)}{4h} + \lim_{h \to 0} 3 \cdot \frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}$

$= 4 \lim_{k \to 0} \frac{f(2+k)-f(2)}{k} + 3 \lim_{l \to 0} \frac{f(2+l)-f(2)}{l}$

$= 4 f'(2) + 3 f'(2)$

$= 4(3) + 3(3)$

$= 12 + 9$

$= 21$

3. 最終的な答え

21