与えられた複素関数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ の微分可能性を判定し、いくつかの関連する問題を解く。具体的には、Cauchy-Riemannの関係式、正則関数とその導関数の計算、合成関数の微分、ラプラス方程式、等高線の性質などが問われている。

1. 問題の内容

与えられた複素関数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ の微分可能性を判定し、いくつかの関連する問題を解く。具体的には、Cauchy-Riemannの関係式、正則関数とその導関数の計算、合成関数の微分、ラプラス方程式、等高線の性質などが問われている。

2. 解き方の手順

問題は複数の小問に分かれているので、順に解いていく。

1) 複素関数の微分可能性の判定：

Cauchy-Riemannの関係式 $u_x = v_y$ かつ $u_y = -v_x$ を確認する。

i) $u(x,y) = e^x \cos y$, $v(x,y) = e^x \sin y$ の場合、$u_x = e^x \cos y$, $u_y = -e^x \sin y$, $v_x = e^x \sin y$, $v_y = e^x \cos y$ であるから、Cauchy-Riemannの関係式を満たす。よって微分可能。

ii) $u(x,y) = x$, $v(x,y) = -y$ の場合、$u_x = 1$, $u_y = 0$, $v_x = 0$, $v_y = -1$ であるから、Cauchy-Riemannの関係式を満たさない。よって微分可能ではない。

iii) $u(x,y) = x^2 + y^2$, $v(x,y) = 0$ の場合、$u_x = 2x$, $u_y = 2y$, $v_x = 0$, $v_y = 0$ である。Cauchy-Riemannの関係式を満たすためには $x = 0$ かつ $y = 0$ でなければならない。したがって、原点でのみ微分可能。

2) $f(z) = z^n$ の導関数の計算：

定義4の極限を用いて、$f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}$ を計算する。$f(z) = z^n$ なので、$f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{(z+h)^n - z^n}{h}$ となる。二項定理を用いて $(z+h)^n = z^n + n z^{n-1} h + O(h^2)$ と展開すると、$f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{n z^{n-1} h + O(h^2)}{h} = n z^{n-1}$ が得られる。

3) 合成関数の微分：

$z = z(t)$ が実数 $t$ の関数として与えられ、$f(z)$ が微分可能であるとき、$\frac{d}{dt} f(z(t)) = \frac{df}{dz} \cdot \frac{dz}{dt}$ を示す。これは合成関数の微分公式そのものである。$f(z(t))$ を $t$ で微分すると、鎖ルールより $\frac{d}{dt} f(z(t)) = \frac{df}{dz} \frac{dz}{dt}$ が成り立つ。

4) ラプラス方程式：

$f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ がラプラス方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ と $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$ を満たすことを示す。$f$ が微分可能なので、Cauchy-Riemannの関係式 $u_x = v_y$ かつ $u_y = -v_x$ が成り立つ。$u_{xx} = (v_y)_x = v_{yx}$ であり、$u_{yy} = (-v_x)_y = -v_{xy}$ である。偏微分の順序交換可能性より $v_{yx} = v_{xy}$ なので、$u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0$ となる。同様に、$v_{xx} = (u_x)_x = u_{yx}$ であり、$v_{yy} = (-u_y)_y = -u_{xy}$ であるから、$v_{xx} + v_{yy} = u_{yx} - u_{xy} = 0$ となる。

5) 等高線の性質：

i) $f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ の等高線が交点で直交することを示す。$\nabla u = (u_x, u_y)$ と $\nabla v = (v_x, v_y)$ はそれぞれ $u$ と $v$ の等高線に垂直なベクトルである。これらの内積を計算すると、$\nabla u \cdot \nabla v = u_x v_x + u_y v_y$ となる。Cauchy-Riemannの関係式を用いると、$v_x = -u_y$ であり、$v_y = u_x$ であるから、$\nabla u \cdot \nabla v = u_x (-u_y) + u_y u_x = 0$ となる。したがって、$\nabla u$ と $\nabla v$ は直交し、等高線も直交する。

ii) $f(z) = (a+ib)z$ ($a, b > 0$) と $g(z) = 1/z$ ($z \neq 0$) がC上で正則であることを示し、実部と虚部の等高線を描いて前問の結果を確かめる。

$f(z) = (a+ib)(x+iy) = (ax-by) + i(bx+ay)$ より、$u(x,y) = ax-by$、$v(x,y) = bx+ay$。$u_x = a$, $u_y = -b$, $v_x = b$, $v_y = a$ なので Cauchy-Riemann の関係式を満たし、正則である。

$g(z) = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}$ より、$u(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}$、$v(x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}$。$u_x = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$, $u_y = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$, $v_x = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$, $v_y = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ なので Cauchy-Riemann の関係式を満たし、正則である。

これらの関数の等高線を描くと、直交していることを確認できる。

3. 最終的な答え

1) i) 微分可能

ii) 微分不可能

iii) 原点でのみ微分可能

2) $f'(z) = n z^{n-1}$

3) $\frac{d}{dt} f(z(t)) = \frac{df}{dz} \frac{dz}{dt}$

4) $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$, $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

5) i) 実部と虚部の等高線は直交する。

ii) $f(z) = (a+ib)z$ と $g(z) = 1/z$ は正則であり、等高線を描くと直交することが確認できる。