問題2は、実数から実数への関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ で、指定された条件を満たすものをそれぞれ1つずつ挙げる問題です。条件は以下の通りです。 (a) $x = 0$ で連続でない。 (b) $x = 0$ で連続であるが、微分可能ではない。 (c) $x = 0$ で微分可能である。 問題3は、与えられた関数 $f(x)$ について、$f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。関数は以下の通りです。 (a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$ (b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題2は、実数から実数への関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ で、指定された条件を満たすものをそれぞれ1つずつ挙げる問題です。条件は以下の通りです。

(a) $x = 0$ で連続でない。

(b) $x = 0$ で連続であるが、微分可能ではない。

(c) $x = 0$ で微分可能である。

問題3は、与えられた関数 $f(x)$ について、$f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。関数は以下の通りです。

(a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

2. 解き方の手順

問題2:

(a) $x=0$ で連続でない関数：

関数を以下のように定義します。

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

この関数は、$x=0$ で $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = 0$ なので、連続ではありません。

(b) $x=0$ で連続だが微分可能でない関数：

$f(x) = |x|$

この関数は、$x=0$ で連続ですが、$x=0$ における微分係数は存在しません。なぜなら、右からの極限と左からの極限が一致しないからです。

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|-0}{h} = 1$

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h|-0}{h} = -1$

(c) $x=0$ で微分可能な関数：

$f(x) = x^2$

この関数は、$x=0$ で微分可能であり、$f'(x) = 2x$ なので、$f'(0) = 0$ です。

問題3:

(a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+(\sinh x)^2} \cdot \cosh x = \frac{\cosh x}{1+\sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x}$

$f'(0) = \frac{1}{\cosh 0} = \frac{1}{1} = 1$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\ln f(x) = x \ln(x^2 + 1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x^2 + 1) + x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}$

したがって、

$f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$

$f'(0) = (0^2 + 1)^0 \left( \ln(0^2 + 1) + \frac{2 \cdot 0^2}{0^2 + 1} \right) = 1 \cdot (\ln 1 + 0) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$

3. 最終的な答え

問題2:

(a) $f(x) = \begin{cases} 1 & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

(b) $f(x) = |x|$

(c) $f(x) = x^2$

問題3:

(a) $f'(x) = \frac{1}{\cosh x}$, $f'(0) = 1$

(b) $f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$, $f'(0) = 0$