与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = (x^2 - x) \cos 2x$ (2) $y = (x^2 + 1) \cot \frac{x}{3}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = (x^2 - x) \cos 2x$

(2) $y = (x^2 + 1) \cot \frac{x}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 - x) \cos 2x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 - x$, $v = \cos 2x$ とおくと、

$u' = 2x - 1$, $v' = -2\sin 2x$

したがって、

$y' = (2x - 1) \cos 2x + (x^2 - x) (-2 \sin 2x)$

$y' = (2x - 1) \cos 2x - 2(x^2 - x) \sin 2x$

(2) $y = (x^2 + 1) \cot \frac{x}{3}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + 1$, $v = \cot \frac{x}{3}$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = -\frac{1}{3} \csc^2 \frac{x}{3}$

したがって、

$y' = 2x \cot \frac{x}{3} + (x^2 + 1) \left( -\frac{1}{3} \csc^2 \frac{x}{3} \right)$

$y' = 2x \cot \frac{x}{3} - \frac{1}{3} (x^2 + 1) \csc^2 \frac{x}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (2x - 1) \cos 2x - 2(x^2 - x) \sin 2x$

(2) $y' = 2x \cot \frac{x}{3} - \frac{1}{3} (x^2 + 1) \csc^2 \frac{x}{3}$