数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ について、以下の3つの条件を満たす数列をそれぞれ1つずつ挙げ、証明せよ。 (a) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束する。 (b) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も発散する。 (c) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するが、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ について、以下の3つの条件を満たす数列をそれぞれ1つずつ挙げ、証明せよ。

(a) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束する。

(b) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も発散する。

(c) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するが、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。

2. 解き方の手順

(a) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も収束する場合

数列として $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ を考える。

このとき、$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ と変形できる。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0$ より、数列 $\{a_n\}$ は0に収束する。

また、部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$ となる。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1$ より、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は1に収束する。

したがって、数列 $\{a_n\} = \{\frac{1}{n(n+1)}\}$ は条件を満たす。

(b) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ も発散する場合

数列として $a_n = n$ を考える。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty$ より、数列 $\{a_n\}$ は発散する。

また、部分和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ となる。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2} = \infty$ より、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する。

したがって、数列 $\{a_n\} = \{n\}$ は条件を満たす。

(c) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するが、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する場合

数列として $a_n = \frac{1}{n}$ を考える。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ より、数列 $\{a_n\}$ は0に収束する。

一方、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は調和級数であり、発散する。これは周知の事実である。

したがって、数列 $\{a_n\} = \{\frac{1}{n}\}$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(a) $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$

(b) $a_n = n$

(c) $a_n = \frac{1}{n}$