与えられた3つの関数をそれぞれ$x$で微分する問題です。 (1) $y = 2x^2(x^3 + 3x)$ (2) $y = 3\sin x \tan x$ (3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ$x$で微分する問題です。

(1) $y = 2x^2(x^3 + 3x)$

(2) $y = 3\sin x \tan x$

(3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = 2x^2(x^3 + 3x)$ を展開します。

$y = 2x^5 + 6x^3$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^5 + 6x^3) = 10x^4 + 18x^2$

(2) $y = 3\sin x \tan x$ を $x$ で微分します。積の微分法を用います。

$(\sin x)' = \cos x$, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = 3(\sin x \tan x)' = 3(\sin x)' \tan x + 3\sin x (\tan x)'$

$\frac{dy}{dx} = 3\cos x \tan x + 3\sin x \frac{1}{\cos^2 x} = 3\sin x + \frac{3\sin x}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = 3\sin x (1 + \frac{1}{\cos^2 x}) = 3\sin x(1 + \sec^2 x)$

(3) $y = (x^2 + 4x - 1)e^x$ を $x$ で微分します。積の微分法を用います。

$(x^2 + 4x - 1)' = 2x + 4$, $(e^x)' = e^x$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 4x - 1)'e^x + (x^2 + 4x - 1)(e^x)' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x - 1)e^x$

$\frac{dy}{dx} = (2x + 4 + x^2 + 4x - 1)e^x = (x^2 + 6x + 3)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10x^4 + 18x^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3\sin x + \frac{3\sin x}{\cos^2 x} = 3\sin x(1 + \sec^2 x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = (x^2 + 6x + 3)e^x$