与えられた極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}

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2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を繰り返し適用します。まず、$x \to 0$ のとき、分子は $e^0 - e^0 - 2(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ に近づき、分母は $0 - \sin 0 = 0 - 0 = 0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。

ロピタルの定理を適用すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}

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再び、$x \to 0$ のとき、分子は $e^0 + e^0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ に近づき、分母は $1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。

再度、ロピタルの定理を適用すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}

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再び、$x \to 0$ のとき、分子は $e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$ に近づき、分母は $\sin 0 = 0$ に近づくので、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。

もう一度、ロピタルの定理を適用すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}

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$x \to 0$ のとき、分子は $e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$ に近づき、分母は $\cos 0 = 1$ に近づくので、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2

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3. 最終的な答え

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