以下の3つの関数を$x$で微分する問題です。 1. $y = \sin(x^2 - x + \pi)$

1. 問題の内容

以下の3つの関数を$x$で微分する問題です。

1. $y = \sin(x^2 - x + \pi)$

2. $y = e^{2x^2 - 5x}$

3. $y = \log_e(x^2 + 4x + 4)$

2. 解き方の手順

1. $y = \sin(x^2 - x + \pi)$の場合：

合成関数の微分を行う。

$u = x^2 - x + \pi$とおくと、$y = \sin(u)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos(u)$

$\frac{du}{dx} = 2x - 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot (2x - 1) = (2x - 1)\cos(x^2 - x + \pi)$

2. $y = e^{2x^2 - 5x}$の場合：

合成関数の微分を行う。

$u = 2x^2 - 5x$とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 4x - 5$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (4x - 5) = (4x - 5)e^{2x^2 - 5x}$

3. $y = \log_e(x^2 + 4x + 4)$の場合：

合成関数の微分を行う。

$u = x^2 + 4x + 4$とおくと、$y = \log_e(u)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (2x + 4) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{2(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{2}{x+2}$

3. 最終的な答え

1. $\frac{dy}{dx} = (2x - 1)\cos(x^2 - x + \pi)$

2. $\frac{dy}{dx} = (4x - 5)e^{2x^2 - 5x}$

3. $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+2}$