与えられた8個の極限の値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 2x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-x)}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(-5x)}$ (5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ (6) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^x$ (7) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x}$ (8) $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{3}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた8個の極限の値を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 2x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-x)}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(-5x)}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

(6) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^x$

(7) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x}$

(8) $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{3}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$.

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 2x}$

$\frac{3x}{\sin 2x} = \frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{\sin 2x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} = 1$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 2x} = \frac{3}{2}$.

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-x)}{x}$

$\frac{\sin(-x)}{x} = - \frac{\sin x}{x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-x)}{x} = -1$.

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(-5x)}$

$\frac{x}{\sin(-5x)} = \frac{x}{- \sin 5x} = \frac{1}{-5} \cdot \frac{5x}{\sin 5x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(-5x)} = -\frac{1}{5}$.

(5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

これは自然対数の底 $e$ の定義そのものです。

したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$.

(6) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^x$

$y = 2x$ と置くと、$x = \frac{y}{2}$ であり、$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$ となります。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{\frac{y}{2}} = \lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$.

(7) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x}$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x} = \lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{1}{x})^x)^2 = e^2$.

(8) $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{3}{x}}$

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$.

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{3}{x}} = \lim_{x \to 0} ((1 + x)^{\frac{1}{x}})^3 = e^3$.

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3/2

(3) -1

(4) -1/5

(5) e

(6) sqrt(e)

(7) e^2

(8) e^3