関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の、$0 \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の、$0 \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\theta + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求めます。

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、

$0 + \frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

次に、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値と最小値を考えます。

$\sin$ 関数は、$x$ が $\frac{\pi}{2}$ のとき最大値1をとり、$x$ が $\frac{3\pi}{2}$ のとき最小値-1をとります。

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ の範囲において、

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y$ は最大値1をとります。

$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

この $\theta$ は $0 \le \theta \le \pi$ を満たします。

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき $y = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\theta = \pi$　のとき、$y = \sin(\pi+\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \pi$ のとき、$y = \sin(\pi) = 0$

$\theta = \frac{\pi}{3}$　のとき、$y = \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ を考えてみる。$\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$. $\theta = \frac{5\pi}{6}$.

したがって、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$y$ は最小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ をとります。

$\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \pi$

この $\theta$ は $0 \le \theta \le \pi$ を満たします。

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = \pi$ のとき)