関数 $f(x)$ が与えられたとき、その導関数 $f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。関数は以下の2つです。 (a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$ (b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられたとき、その導関数 $f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。関数は以下の2つです。

(a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$の場合

ステップ1: $f'(x)$を求める。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$と$\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$ を用いる。

$$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sinh x)^2} \cdot \cosh x = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x}$$

双曲線関数の恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ より、$1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$ であるから、

$$f'(x) = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x}$$

ステップ2: $f'(0)$を求める。

$\cosh 0 = 1$であるから、$f'(0) = \frac{1}{\cosh 0} = \frac{1}{1} = 1$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$の場合

ステップ1: $f'(x)$を求める。

両辺の自然対数をとる。

$\ln f(x) = \ln (x^2 + 1)^x = x \ln(x^2 + 1)$

両辺を$x$で微分する。

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x^2 + 1) + x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}$$

よって、

$$f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$$

ステップ2: $f'(0)$を求める。

$f'(0) = (0^2 + 1)^0 \left( \ln(0^2 + 1) + \frac{2(0)^2}{0^2 + 1} \right) = 1 \cdot (\ln 1 + 0) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = \tan^{-1}(\sinh x)$のとき

$f'(x) = \frac{1}{\cosh x}$

$f'(0) = 1$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$のとき

$f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$

$f'(0) = 0$