与えられた写像について、全射性や単射性を判定し、真の場合は証明し、偽の場合は反例を挙げて説明する問題です。具体的には、以下の5つの写像について判定を行います。 (1) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 4x + 3$ は単射であるか。 (2) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^4$ は単射であるか。 (3) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = 4x + 3$ は全射であるか。 (4) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = 4x + 3$ は単射であるか。 (5) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ は全射であるか。

1. 問題の内容

与えられた写像について、全射性や単射性を判定し、真の場合は証明し、偽の場合は反例を挙げて説明する問題です。具体的には、以下の5つの写像について判定を行います。

(1) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 4x + 3$ は単射であるか。

(2) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^4$ は単射であるか。

(3) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = 4x + 3$ は全射であるか。

(4) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = 4x + 3$ は単射であるか。

(5) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ は全射であるか。

2. 解き方の手順

(1) 単射性: $f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ を示す。

$f(x_1) = 4x_1 + 3$、$f(x_2) = 4x_2 + 3$

$4x_1 + 3 = 4x_2 + 3$

$4x_1 = 4x_2$

$x_1 = x_2$

よって、単射である。

(2) 単射性: $f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ を示す。

$f(x_1) = x_1^4$、$f(x_2) = x_2^4$

$x_1^4 = x_2^4$

$x_1 = \pm x_2$

例えば、$x_1 = 1$、$x_2 = -1$ のとき、$f(1) = 1$、$f(-1) = 1$ となり、$f(1) = f(-1)$ だが、$1 \neq -1$ なので、単射ではない。

(3) 全射性: 任意の $y \in \mathbb{Z}$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{Z}$ が存在するかを調べる。

$4x + 3 = y$

$4x = y - 3$

$x = \frac{y - 3}{4}$

$y = 0$ のとき、$x = -\frac{3}{4}$ となり、$x \notin \mathbb{Z}$。

したがって、全射ではない。

(4) 単射性: $f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ を示す。

$f(x_1) = 4x_1 + 3$、$f(x_2) = 4x_2 + 3$

$4x_1 + 3 = 4x_2 + 3$

$4x_1 = 4x_2$

$x_1 = x_2$

よって、単射である。

(5) 全射性：任意の $y \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。

$\frac{e^x - e^{-x}}{2} = y$

$e^x - e^{-x} = 2y$

$e^x - \frac{1}{e^x} = 2y$

$(e^x)^2 - 1 = 2y e^x$

$(e^x)^2 - 2y e^x - 1 = 0$

$e^x = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$

$e^x > 0$ であるので、$e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$

$x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$

任意の $y \in \mathbb{R}$ に対して、$y + \sqrt{y^2 + 1} > 0$ なので、$x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$ は実数として存在します。

したがって、全射である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 偽

(4) 真

(5) 真