与えられた条件を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の例をそれぞれ一つずつ挙げる問題です。授業で扱った例は使用できず、証明も必要です。条件は以下の通りです。 (a) $x = 0$ で連続でない。 (b) $x = 0$ で連続だが、微分可能でない。 (c) $x = 0$ で微分可能である。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の例をそれぞれ一つずつ挙げる問題です。授業で扱った例は使用できず、証明も必要です。条件は以下の通りです。

(a) $x = 0$ で連続でない。

(b) $x = 0$ で連続だが、微分可能でない。

(c) $x = 0$ で微分可能である。

2. 解き方の手順

(a) $x = 0$ で連続でない関数の例:

関数を以下のように定義します。

$f(x) = \begin{cases}

1 & \text{if } x \neq 0 \\

0 & \text{if } x = 0

\end{cases}$

証明:

$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ ですが、$f(0) = 0$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$ となり、$x = 0$ で連続ではありません。

(b) $x = 0$ で連続だが、微分可能でない関数の例:

関数を以下のように定義します。

$f(x) = \sqrt{|x|}$

証明:

まず、$x = 0$ で連続であることを示します。

$\lim_{x \to 0} \sqrt{|x|} = 0 = f(0)$ なので、$x = 0$ で連続です。

次に、$x = 0$ で微分可能でないことを示します。

微分可能性を調べるために、微分係数の定義式を計算します。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h|}}{h}$

この極限は $h$ が $0$ に近づく方向によって異なります。

$h > 0$ のとき、$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$

$h < 0$ のとき、$\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt{-h}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt{-h}}{-\sqrt{-h}\sqrt{-h}} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-1}{\sqrt{-h}} = -\infty$

したがって、極限値が存在しないため、$x = 0$ で微分可能ではありません。

(c) $x = 0$ で微分可能な関数の例:

関数を以下のように定義します。

$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ (if $x \neq 0$)

$f(0) = 0$

証明:

まず、$x = 0$ での微分可能性を調べます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$ であり、$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ なので、挟みうちの原理より、$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ となり、$x = 0$ で微分可能です。

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$

(b) $f(x) = \sqrt{|x|}$

(c) $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$