与えられた対数関数を微分する問題です。底が省略されている場合は底が10である常用対数として計算します。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数関数を微分する問題です。底が省略されている場合は底が10である常用対数として計算します。

2. 解き方の手順

対数関数の微分公式:

$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

特に、$a=10$ のとき、$(\log x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

合成関数の微分:

$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

(a) $y = \log(3x+1)$

$y' = \frac{1}{(3x+1) \ln 10} \cdot 3 = \frac{3}{(3x+1) \ln 10}$

(b) $y = \log(x^2 - x + 1)$

$y' = \frac{1}{(x^2 - x + 1) \ln 10} \cdot (2x - 1) = \frac{2x-1}{(x^2 - x + 1) \ln 10}$

(c) $y = \log(\sin x)$

$y' = \frac{1}{\sin x \ln 10} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x \ln 10} = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(d) $y = \log x^3 = 3\log x$

$y' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{3}{x \ln 10}$

(e) $y = \log_7 x$

$y' = \frac{1}{x \ln 7}$

(f) $y = \log_5 (x^2 + 2x)$

$y' = \frac{1}{(x^2 + 2x) \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x) \ln 5} = \frac{2(x+1)}{x(x+2) \ln 5}$

(g) $y = \log_2 (3x-1)$

$y' = \frac{1}{(3x-1) \ln 2} \cdot 3 = \frac{3}{(3x-1) \ln 2}$

(h) $y = \log |x^2 - 4|$

$y' = \frac{1}{(x^2 - 4) \ln 10} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$

(i) $y = \log \sqrt[5]{x} = \log x^{1/5} = \frac{1}{5} \log x$

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{1}{5x \ln 10}$

(j) $y = \log_3 \sqrt[3]{x} = \log_3 x^{1/3} = \frac{1}{3} \log_3 x$

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{1}{3x \ln 3}$

3. 最終的な答え

(a) $y' = \frac{3}{(3x+1) \ln 10}$

(b) $y' = \frac{2x-1}{(x^2 - x + 1) \ln 10}$

(c) $y' = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(d) $y' = \frac{3}{x \ln 10}$

(e) $y' = \frac{1}{x \ln 7}$

(f) $y' = \frac{2(x+1)}{x(x+2) \ln 5}$

(g) $y' = \frac{3}{(3x-1) \ln 2}$

(h) $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$

(i) $y' = \frac{1}{5x \ln 10}$

(j) $y' = \frac{1}{3x \ln 3}$