関数 $f(x) = ((e^{-8x} + 1)^5)'$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ((e^{-8x} + 1)^5)'$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

連鎖律（chain rule）を使って微分します。まず、外側の関数から順に微分していきます。

* **ステップ1:** 外側の関数 $y = u^5$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

* **ステップ2:** 次に、$u = e^{-8x} + 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-8x} + 1) = -8e^{-8x}$

* **ステップ3:** 連鎖律を使って、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (-8e^{-8x})$

$\frac{dy}{dx} = 5(e^{-8x} + 1)^4 \cdot (-8e^{-8x}) = -40e^{-8x}(e^{-8x} + 1)^4$

3. 最終的な答え

$-40e^{-8x}(e^{-8x} + 1)^4$