与えられた三角関数の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の3つの式を簡略化します。 (1) $sin 10^\circ cos 80^\circ - sin 100^\circ cos 170^\circ$ (2) $\frac{1}{sin^2 20^\circ} - tan^2 110^\circ$ (3) $sin^2(180^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ + \theta) + cos^2(90^\circ - \theta)$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の3つの式を簡略化します。

(1) $sin 10^\circ cos 80^\circ - sin 100^\circ cos 170^\circ$

(2) $\frac{1}{sin^2 20^\circ} - tan^2 110^\circ$

(3) $sin^2(180^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ + \theta) + cos^2(90^\circ - \theta)$

2. 解き方の手順

(1)

$sin 10^\circ cos 80^\circ - sin 100^\circ cos 170^\circ$ を簡略化します。

まず、$cos 80^\circ = sin (90^\circ - 80^\circ) = sin 10^\circ$、$sin 100^\circ = sin (180^\circ - 80^\circ) = sin 80^\circ$、$cos 170^\circ = -cos(180^\circ-170^\circ) = -cos 10^\circ$ であることを用います。

すると、式は $sin 10^\circ \cdot sin 10^\circ - sin 80^\circ \cdot (-cos 10^\circ) = sin^2 10^\circ + sin 80^\circ cos 10^\circ$ となります。

$sin 80^\circ = cos (90^\circ - 80^\circ) = cos 10^\circ$ であるので、式は $sin^2 10^\circ + cos^2 10^\circ$ となります。

三角関数の基本公式 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ より、$sin^2 10^\circ + cos^2 10^\circ = 1$ となります。

(2)

$\frac{1}{sin^2 20^\circ} - tan^2 110^\circ$ を簡略化します。

$tan 110^\circ = tan (90^\circ + 20^\circ) = -cot 20^\circ$ であるので、$tan^2 110^\circ = cot^2 20^\circ$ となります。

したがって、式は $\frac{1}{sin^2 20^\circ} - cot^2 20^\circ = \frac{1}{sin^2 20^\circ} - \frac{cos^2 20^\circ}{sin^2 20^\circ} = \frac{1 - cos^2 20^\circ}{sin^2 20^\circ}$ となります。

三角関数の基本公式 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ より、$1 - cos^2 20^\circ = sin^2 20^\circ$ であるので、式は $\frac{sin^2 20^\circ}{sin^2 20^\circ} = 1$ となります。

(3)

$sin^2(180^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ - \theta) + sin^2(90^\circ + \theta) + cos^2(90^\circ - \theta)$ を簡略化します。

$sin(180^\circ - \theta) = sin \theta$、$sin(90^\circ - \theta) = cos \theta$、$sin(90^\circ + \theta) = cos \theta$、$cos(90^\circ - \theta) = sin \theta$ であるので、式は $sin^2 \theta + cos^2 \theta + cos^2 \theta + sin^2 \theta = 2(sin^2 \theta + cos^2 \theta)$ となります。

三角関数の基本公式 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ より、$2(sin^2 \theta + cos^2 \theta) = 2 \cdot 1 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 2