定積分 $\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = x$ と $dv = \sinh x \, dx$ とおくと、

$du = dx$ と $v = \int \sinh x \, dx = \cosh x$ となります。

したがって、

$$\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx = \left[ x \cosh x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \cosh x \, dx$$

$$= \left[ x \cosh x \right]_{0}^{1} - \left[ \sinh x \right]_{0}^{1}$$

$$= (1 \cdot \cosh 1 - 0 \cdot \cosh 0) - (\sinh 1 - \sinh 0)$$

$$= \cosh 1 - \sinh 1$$

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ と $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ を用いると、

$$\cosh 1 = \frac{e^{1} + e^{-1}}{2} = \frac{e + e^{-1}}{2}$$

$$\sinh 1 = \frac{e^{1} - e^{-1}}{2} = \frac{e - e^{-1}}{2}$$

よって、

$$\cosh 1 - \sinh 1 = \frac{e + e^{-1}}{2} - \frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{e + e^{-1} - e + e^{-1}}{2} = \frac{2 e^{-1}}{2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$