関数 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$ を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を積の形と見て、積の微分公式を適用する。

積の微分公式は、$(uv)' = u'v + uv'$ である。

ここでは、$u = (x-1)^2$、$v = \sqrt[3]{x+2} = (x+2)^{\frac{1}{3}}$ と置く。

$u = (x-1)^2$ の微分は、合成関数の微分公式を用いる。

$u' = 2(x-1) \cdot (x-1)' = 2(x-1) \cdot 1 = 2(x-1)$.

$v = (x+2)^{\frac{1}{3}}$ の微分も、合成関数の微分公式を用いる。

$v' = \frac{1}{3}(x+2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x+2)' = \frac{1}{3}(x+2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1 = \frac{1}{3}(x+2)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$.

したがって、$y' = u'v + uv' = 2(x-1)\sqrt[3]{x+2} + (x-1)^2 \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$。

$y' = 2(x-1)\sqrt[3]{x+2} + \frac{(x-1)^2}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$= \frac{6(x-1)(x+2) + (x-1)^2}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$= \frac{(x-1)[6(x+2) + (x-1)]}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$= \frac{(x-1)(6x+12 + x-1)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$= \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$