与えられた関数 $f(x) = \frac{e^{\arctan x}x(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{e^{\arctan x}x(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分するために、積の微分法則と商の微分法則、そして合成関数の微分法則を適用します。

まず、関数を $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ と表すと、ここで $g(x) = e^{\arctan x} x(x-1)$ であり、$h(x) = \sqrt{1+x^2}$ です。商の微分法則は次の通りです。

$(\frac{g(x)}{h(x)})' = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}$

次に、$g(x)$ を微分します。$g(x)$ は $e^{\arctan x}$, $x$ および $(x-1)$ の積なので、積の微分法則を使います。

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

$u(x) = e^{\arctan x}$, $v(x) = x$, $w(x) = (x-1)$ とすると、

$u'(x) = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$v'(x) = 1$

$w'(x) = 1$

従って、

$g'(x) = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot x(x-1) + e^{\arctan x} \cdot 1 \cdot (x-1) + e^{\arctan x} \cdot x \cdot 1$

$g'(x) = e^{\arctan x} \left( \frac{x(x-1)}{1+x^2} + (x-1) + x \right)$

$g'(x) = e^{\arctan x} \left( \frac{x^2 - x}{1+x^2} + 2x - 1 \right)$

$g'(x) = e^{\arctan x} \left( \frac{x^2 - x + (2x-1)(1+x^2)}{1+x^2} \right)$

$g'(x) = e^{\arctan x} \left( \frac{x^2 - x + 2x + 2x^3 - 1 - x^2}{1+x^2} \right)$

$g'(x) = e^{\arctan x} \left( \frac{2x^3 + x - 1}{1+x^2} \right)$

次に、$h(x)$ を微分します。

$h(x) = \sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{1/2}$

$h'(x) = \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

これらの結果を商の微分法則に代入します。

$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2} = \frac{e^{\arctan x} \left( \frac{2x^3 + x - 1}{1+x^2} \right)\sqrt{1+x^2} - e^{\arctan x} \frac{x(x-1)}{\sqrt{1+x^2}} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2})^2}$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x} \left( \frac{(2x^3 + x - 1)}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x^2(x-1)}{1+x^2}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)}{1+x^2}$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{ (1+x^2)\sqrt{1+x^2} } \left( 2x^3+x-1 - \frac{x^3 - x^2}{1+x^2} \right)$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{ (1+x^2)\sqrt{1+x^2} } \left( \frac{(2x^3+x-1)(1+x^2) - (x^3 - x^2)}{1+x^2} \right)$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{ (1+x^2)^{5/2} } \left( (2x^3+x-1)(1+x^2) - (x^3 - x^2) \right)$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{ (1+x^2)^{5/2} } \left( 2x^3+x-1 + 2x^5+x^3-x^2 - x^3 + x^2 \right)$

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}}{ (1+x^2)^{5/2} } \left( 2x^5 + 2x^3 + x - 1 \right)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{e^{\arctan x}(2x^5 + 2x^3 + x - 1)}{(1+x^2)^{5/2}}$