与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x}$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず $y = (1+x)^{1/x}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln( (1+x)^{1/x} ) = \frac{1}{x} \ln(1+x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x)}{x}$

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$

$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{1/x} = 1$