以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left( \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)$

$x \to 0$ のとき、$\ln y$ の極限を求めます。これは不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)}{x}$

ロピタルの定理を適用するために、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right) = \frac{1}{\frac{a^x + b^x}{2}} \cdot \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{2} = \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{a^x + b^x}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} x = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{a^x + b^x} = \frac{a^0 \ln a + b^0 \ln b}{a^0 + b^0} = \frac{\ln a + \ln b}{1 + 1} = \frac{\ln a + \ln b}{2}$

$\ln a + \ln b = \ln (ab)$ なので、

$\lim_{x \to 0} \ln y = \frac{\ln (ab)}{2} = \ln (ab)^{\frac{1}{2}} = \ln \sqrt{ab}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{ab}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{ab}$