与えられた定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$ を計算します。ここで、$m$と$n$は自然数です。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$

を計算します。ここで、$m$と$n$は自然数です。

2. 解き方の手順

積和の公式

$\sin(mx)\sin(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)]$

を利用します。

積分を計算すると、

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] dx$

場合分けを行います。

(1) $m=n$のとき

$\int_{0}^{2\pi} \sin^2(mx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(2mx)) dx = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin(2mx)}{2m}]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} [2\pi - 0 - (0 - 0)] = \pi$

(2) $m \neq n$のとき

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] dx = \frac{1}{2} [\frac{\sin((m-n)x)}{m-n} - \frac{\sin((m+n)x)}{m+n}]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} [(0-0) - (0-0)] = 0$

3. 最終的な答え

したがって、積分結果は以下のようになります。

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \begin{cases} \pi & (m=n) \\ 0 & (m \neq n) \end{cases}$