(1) 定積分 $\int_{0}^{4} |\sqrt{x} - 1| dx$ を計算します。 (2) 定積分 $\int_{-1}^{2} |e^x - 1| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{4} |\sqrt{x} - 1| dx$ を計算します。

(2) 定積分 $\int_{-1}^{2} |e^x - 1| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |\sqrt{x} - 1|$ とします。

$\sqrt{x} - 1 = 0$ を解くと、$x = 1$ となります。

したがって、積分区間を $[0, 1]$ と $[1, 4]$ に分割します。

$0 \leq x \leq 1$ のとき、$\sqrt{x} \leq 1$ なので $|\sqrt{x} - 1| = 1 - \sqrt{x}$ です。

$1 \leq x \leq 4$ のとき、$\sqrt{x} \geq 1$ なので $|\sqrt{x} - 1| = \sqrt{x} - 1$ です。

したがって、

$$\int_{0}^{4} |\sqrt{x} - 1| dx = \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x}) dx + \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 1) dx$$

$\int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} (1 - x^{1/2}) dx = [x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 1) dx = \int_{1}^{4} (x^{1/2} - 1) dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - x]_{1}^{4} = (\frac{2}{3}(4)^{3/2} - 4) - (\frac{2}{3} - 1) = (\frac{16}{3} - 4) - (-\frac{1}{3}) = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{4} |\sqrt{x} - 1| dx = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(2) $f(x) = |e^x - 1|$ とします。

$e^x - 1 = 0$ を解くと、$e^x = 1$ より $x = 0$ となります。

したがって、積分区間を $[-1, 0]$ と $[0, 2]$ に分割します。

$-1 \leq x \leq 0$ のとき、$e^x \leq 1$ なので $|e^x - 1| = 1 - e^x$ です。

$0 \leq x \leq 2$ のとき、$e^x \geq 1$ なので $|e^x - 1| = e^x - 1$ です。

したがって、

$$\int_{-1}^{2} |e^x - 1| dx = \int_{-1}^{0} (1 - e^x) dx + \int_{0}^{2} (e^x - 1) dx$$

$\int_{-1}^{0} (1 - e^x) dx = [x - e^x]_{-1}^{0} = (0 - e^0) - (-1 - e^{-1}) = (0 - 1) - (-1 - \frac{1}{e}) = -1 + 1 + \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$

$\int_{0}^{2} (e^x - 1) dx = [e^x - x]_{0}^{2} = (e^2 - 2) - (e^0 - 0) = e^2 - 2 - 1 = e^2 - 3$

したがって、

$\int_{-1}^{2} |e^x - 1| dx = \frac{1}{e} + e^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $e^2 + \frac{1}{e} - 3$