$\tan^{-1}\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\tan^{-1}\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分します。

まず、$u = \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ と置くと、$y = \tan^{-1}u$ となります。

合成関数の微分公式を用いると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\tan^{-1}u) = \frac{1}{1+u^2}$

次に、$u = \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ の微分を計算します。

$u^2 = \frac{x-1}{2-x}$ と置くと、

$\frac{d}{dx}(u^2) = \frac{d}{dx}(\frac{x-1}{2-x})$

$2u \frac{du}{dx} = \frac{(2-x) - (x-1)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{2-x + x - 1}{(2-x)^2} = \frac{1}{(2-x)^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2u(2-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}} (2-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}} \frac{\sqrt{2-x}}{(2-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}(2-x)^{\frac{3}{2}}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+\frac{x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}}$

$= \frac{2-x}{2-x+x-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}} = \frac{2-x}{1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}}$

$= \frac{2-x}{2\sqrt{x-1}(2-x)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt{x-1}(2-x)} = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}} = \frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$

別の解法：

$f(x) = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$

とおくと、

$f'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{\frac{x-1}{2-x}})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{(2-x) - (x-1)(-1)}{(2-x)^2}$

$= \frac{1}{1+\frac{x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{2-x}{2-x+x-1} \cdot \frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= (2-x) \cdot \frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}} = \frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$

あるいは

$\frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}$