Q2：物体の位置が時間 $t$ の関数として $x = -5, y(t) = 3t - t^2$ で与えられている。$0 \le t \le 2$ の間に物体が運動する軌道の長さを求める。 Q3：原点Oに3つの力 $\vec{F_a} = (2, 1)$, $\vec{F_b} = (1, -3)$, $\vec{F_c} = (-4, 4)$ が作用している。 (1) $\vec{F_a}$ と $\vec{F_b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 (cos $\theta$) を求める。 (2) 原点に力 $\vec{F_d} = (F_x, F_y)$ が作用し、4つの力がつり合っているとき、$F_x$ を求める。 (3) (2)のとき、$F_y$ を求める。

1. 問題の内容

Q2：物体の位置が時間 $t$ の関数として $x = -5, y(t) = 3t - t^2$ で与えられている。$0 \le t \le 2$ の間に物体が運動する軌道の長さを求める。

Q3：原点Oに3つの力 $\vec{F_a} = (2, 1)$, $\vec{F_b} = (1, -3)$, $\vec{F_c} = (-4, 4)$ が作用している。

(1) $\vec{F_a}$ と $\vec{F_b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 (cos $\theta$) を求める。

(2) 原点に力 $\vec{F_d} = (F_x, F_y)$ が作用し、4つの力がつり合っているとき、$F_x$ を求める。

(3) (2)のとき、$F_y$ を求める。

2. 解き方の手順

Q2:

まず、速度ベクトルを求める。

$v_x = \frac{dx}{dt} = 0$

$v_y = \frac{dy}{dt} = 3 - 2t$

速度の大きさ (速さ) は $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{0^2 + (3 - 2t)^2} = |3 - 2t|$

軌道の長さは速さを時間で積分して求められる。

$L = \int_0^2 |3 - 2t| dt$

$3 - 2t = 0$ となるのは $t = \frac{3}{2}$

$L = \int_0^{3/2} (3 - 2t) dt + \int_{3/2}^2 (2t - 3) dt$

$= [3t - t^2]_0^{3/2} + [t^2 - 3t]_{3/2}^2$

$= (3 \times \frac{3}{2} - (\frac{3}{2})^2) - 0 + (2^2 - 3 \times 2) - ((\frac{3}{2})^2 - 3 \times \frac{3}{2})$

$= (\frac{9}{2} - \frac{9}{4}) + (4 - 6) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2})$

$= \frac{9}{4} - 2 - (\frac{9}{4} - \frac{18}{4})$

$= \frac{9}{4} - 2 + \frac{9}{4}$

$= \frac{18}{4} - 2 = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2}$

Q3:

(1)

$\vec{F_a} \cdot \vec{F_b} = |\vec{F_a}| |\vec{F_b}| \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\vec{F_a} \cdot \vec{F_b}}{|\vec{F_a}| |\vec{F_b}|}$

$\vec{F_a} \cdot \vec{F_b} = (2)(1) + (1)(-3) = 2 - 3 = -1$

$|\vec{F_a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|\vec{F_b}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{10}$

(2)

4つの力がつり合っているので、

$\vec{F_a} + \vec{F_b} + \vec{F_c} + \vec{F_d} = \vec{0}$

$\vec{F_d} = -(\vec{F_a} + \vec{F_b} + \vec{F_c})$

$\vec{F_a} + \vec{F_b} + \vec{F_c} = (2 + 1 - 4, 1 - 3 + 4) = (-1, 2)$

$\vec{F_d} = (1, -2)$

$F_x = 1$

(3)

$F_y = -2$

3. 最終的な答え

Q2: $\frac{5}{2}$

Q3:

(1) $\frac{-\sqrt{2}}{10}$

(2) 1

(3) -2