与えられた6つの関数を微分する問題です。公式 3.1〜3.4 および 6.6 を用いるように指示されています。 (1) $y = (3x+1) \sin 2x$ (2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$ (3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$ (4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$ (5) $y = \sin (x^2+x-1)$ (6) $y = \tan (\sqrt{x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。公式 3.1〜3.4 および 6.6 を用いるように指示されています。

(1) $y = (3x+1) \sin 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$

(5) $y = \sin (x^2+x-1)$

(6) $y = \tan (\sqrt{x} - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x+1) \sin 2x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 3x+1$, $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = 3$, $v' = 2\cos 2x$ となります。

したがって、

$y' = 3 \sin 2x + (3x+1) (2 \cos 2x)$

$y' = 3 \sin 2x + (6x+2) \cos 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \cos 6x$, $v = \tan \frac{x}{2}$ とすると、

$u' = -6 \sin 6x$, $v' = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$ となります。

したがって、

$y' = -6 \sin 6x \tan \frac{x}{2} + \cos 6x (\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2})$

$y' = -6 \sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \cos 4x$, $v = x+1$ とすると、

$u' = -4 \sin 4x$, $v' = 1$ となります。

したがって、

$y' = \frac{-4 \sin 4x (x+1) - \cos 4x}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-(4x+4) \sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2$, $v = \tan x$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = \sec^2 x$ となります。

したがって、

$y' = \frac{2x \tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y = \sin (x^2+x-1)$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y' = \cos (x^2+x-1) \cdot (2x+1)$

$y' = (2x+1) \cos (x^2+x-1)$

(6) $y = \tan (\sqrt{x} - 1)$ の微分

合成関数の微分公式を用います。

$y' = \sec^2 (\sqrt{x} - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{\sec^2 (\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3 \sin 2x + (6x+2) \cos 2x$

(2) $y' = -6 \sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y' = \frac{-(4x+4) \sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{2x \tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y' = (2x+1) \cos (x^2+x-1)$

(6) $y' = \frac{\sec^2 (\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x}}$