与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}

$$$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$$$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot x \sin(1/x)

$$$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ です。

また、$-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ であるため、$x \to 0$ のとき、$x \sin(1/x) \to 0$ となります。なぜなら、

$$$$

-|x| \leq x\sin(1/x) \leq |x|

$$$$

であり、$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるため、挟み撃ちの原理より

$$$$

\lim_{x \to 0} x\sin(1/x) = 0

$$$$

したがって、

$$$$

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 1 \cdot 0 = 0

$$$$

3. 最終的な答え

0