$\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、自然対数を使用します。

$y = (1 + x + x^2)^{1/x}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x + x^2)$となります。

$\lim_{x\to 0} \ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1 + x + x^2} (1 + 2x)}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{1 + 2x}{1 + x + x^2} \to \frac{1}{1} = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \ln y = 1$

したがって、$\lim_{x\to 0} y = e^1 = e$となります。

3. 最終的な答え

e