与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = (3x+1) \sin 2x$ (2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$ (3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$ (4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$ (5) $y = \sin(x^2 + x - 1)$ (6) $y = \tan(\sqrt{x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = (3x+1) \sin 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$

(5) $y = \sin(x^2 + x - 1)$

(6) $y = \tan(\sqrt{x} - 1)$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分します。

(1) $y = (3x+1) \sin 2x$

積の微分法を用います。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = 3x+1$ と $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = 3$

$v' = 2\cos 2x$

よって、

$y' = 3\sin 2x + (3x+1)(2\cos 2x)$

$y' = 3\sin 2x + (6x+2)\cos 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$

積の微分法を用います。

$u = \cos 6x$ と $v = \tan \frac{x}{2}$ とすると、

$u' = -6\sin 6x$

$v' = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$

よって、

$y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \cos 6x (\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2})$

$y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

商の微分法を用います。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \cos 4x$ と $v = x+1$ とすると、

$u' = -4\sin 4x$

$v' = 1$

よって、

$y' = \frac{-4\sin 4x (x+1) - \cos 4x (1)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$

商の微分法を用います。

$u = x^2$ と $v = \tan x$ とすると、

$u' = 2x$

$v' = \sec^2 x$

よって、

$y' = \frac{2x\tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y = \sin(x^2 + x - 1)$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \cos(x^2 + x - 1) \cdot (2x + 1)$

$y' = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y = \tan(\sqrt{x} - 1)$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \sec^2(\sqrt{x} - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3\sin 2x + (6x+2)\cos 2x$

(2) $y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{2x\tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y' = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$