第一象限にある半径1の四分円の弧長を、与えられた公式 (4) を用いて求める問題です。円上の点の座標がパラメータ $t$ で$(\sqrt{1-t^2}, t)$ と表されています。

1. 問題の内容

第一象限にある半径1の四分円の弧長を、与えられた公式 (4) を用いて求める問題です。円上の点の座標がパラメータ $t$ で$(\sqrt{1-t^2}, t)$ と表されています。

2. 解き方の手順

まず、公式 (4) に必要な $x'(t)$ と $y'(t)$ を計算します。

$x(t) = \sqrt{1-t^2}$ なので、

$x'(t) = \frac{-2t}{2\sqrt{1-t^2}} = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$

$y(t) = t$ なので、

$y'(t) = 1$

次に、$x'(t)^2 + y'(t)^2$ を計算します。

$x'(t)^2 + y'(t)^2 = \left( \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}} \right)^2 + 1^2 = \frac{t^2}{1-t^2} + 1 = \frac{t^2 + 1 - t^2}{1-t^2} = \frac{1}{1-t^2}$

したがって、積分は

$L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt = \int_a^b \sqrt{\frac{1}{1-t^2}} \, dt = \int_a^b \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt$

四分円は、$t$ が 0 から 1 まで変化するときに描かれます。そのため、積分範囲は $a = 0$ から $b = 1$ です。

$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt = \arcsin(t) + C$ なので、

$L = \left[ \arcsin(t) \right]_0^1 = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$