$x = 3t - 2$を$t$で微分すると、 $\frac{dx}{dt} = 3$

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1. 問題の内容

$x$の関数$y$が媒介変数$t$を用いて表されるとき、導関数$\frac{dy}{dx}$を$t$の関数として表す問題です。

(1) $x = 3t - 2, y = t^2 + 1$

(2) $x = 3\cos t, y = 3\sin t$

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2. 解き方の手順

媒介変数表示された関数の導関数は、以下の公式を用いて求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

(1)の場合：

1. $\frac{dx}{dt}$を計算します。

$x = 3t - 2$を$t$で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = 3$

2. $\frac{dy}{dt}$を計算します。

$y = t^2 + 1$を$t$で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2t$

3. $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3}$

(2)の場合：

1. $\frac{dx}{dt}$を計算します。

$x = 3\cos t$を$t$で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$

2. $\frac{dy}{dt}$を計算します。

$y = 3\sin t$を$t$で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t$

3. $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-3\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\cot t$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\cot t$