与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n \pi) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n \pi)

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2. 解き方の手順

$n$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{n}$ は0に近づきます。

一方、$\cos(n\pi)$ は $n$ が整数のとき、1または-1の値をとります。具体的には、

$n$が偶数のとき $\cos(n\pi) = 1$

$n$が奇数のとき $\cos(n\pi) = -1$

したがって、$\cos(n \pi)$ は $-1$ と $1$ の間を振動します。

この極限は、$\frac{1}{n}$ が 0 に収束し、$\cos(n\pi)$ が $-1$ から $1$ の間にある有界な値であることから、はさみうちの原理を使って解くことができます。

$-1 \le \cos(n \pi) \le 1$ より、

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-\frac{1}{n} \le \frac{1}{n} \cos(n \pi) \le \frac{1}{n}

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$n \to \infty$ のとき、$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$ および $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ となります。

したがって、はさみうちの原理より、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n \pi) = 0

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3. 最終的な答え

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