$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形する。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1-1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n$

次に、この式を自然対数 $e$ の定義を利用できる形に変形する。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ という事実を使う。

$(\frac{n}{n+1})^n = (\frac{n+1}{n})^{-n} = (1 + \frac{1}{n})^{-n}$

ここで、 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$