与えられた極限を計算します： $\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します：

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{n} = x$ と置換すると、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。また、$n = \frac{\pi}{x}$ となります。

したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi}{x} \sin x = \pi \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

したがって、

$\pi \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \pi \cdot 1 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$