数直線上を運動する点Pの時刻$t$における位置が$x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t$で与えられている。 (1) 点Pが向きを変える時刻を求める。 (2) 点Pが$t=0$で原点を出発してから再び原点に戻ってくるまでに動いた距離を求める。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pの時刻$t$における位置が$x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t$で与えられている。

(1) 点Pが向きを変える時刻を求める。

(2) 点Pが$t=0$で原点を出発してから再び原点に戻ってくるまでに動いた距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 向きを変える時刻は、速度が0になる時刻である。

速度$v(t)$は$x(t)$の時間微分で与えられる。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -t^2 + 6t + 16$

向きを変える時刻は、$v(t)=0$を満たす$t$である。

$-t^2 + 6t + 16 = 0$

$t^2 - 6t - 16 = 0$

$(t - 8)(t + 2) = 0$

$t = 8, -2$

$t \ge 0$より、$t = 8$である。 また $t=-2$

(2) 点Pが原点に戻る時刻を求める。

$x(t) = 0$となる$t$を求める。

$-\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t = 0$

$t(-\frac{1}{3}t^2 + 3t + 16) = 0$

$t(t^2 - 9t - 48) = 0$

$t=0$または$t^2 - 9t - 48 = 0$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4\cdot 48}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 192}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{273}}{2}$

$t = \frac{9 + \sqrt{273}}{2} \approx \frac{9 + 16.52}{2} \approx 12.76$

$t=0$から$t=8$までの移動距離は、

$x(8) = -\frac{1}{3}(8^3) + 3(8^2) + 16(8) = -\frac{512}{3} + 192 + 128 = -\frac{512}{3} + 320 = \frac{960-512}{3} = \frac{448}{3}$

$t=8$から$t = \frac{9 + \sqrt{273}}{2}$までの移動距離は、

$x(\frac{9 + \sqrt{273}}{2}) = 0$なので、

$|x(\frac{9 + \sqrt{273}}{2}) - x(8)| = |\frac{-448}{3}| = \frac{448}{3}$

したがって、全移動距離は $\frac{448}{3} + \frac{448}{3} = \frac{896}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $t=-2, 8$

(2) $\frac{896}{3}$