関数 $f(x) = x^{3x}$ $(x > 0)$ を対数微分法を用いて微分する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{3x}$ $(x > 0)$ を対数微分法を用いて微分する。

2. 解き方の手順

(1) 両辺の自然対数をとる：

$y = x^{3x}$とおくと、

$\ln y = \ln (x^{3x}) = 3x \ln x$

(2) 両辺を $x$ で微分する：

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (3x \ln x)$

左辺は連鎖律より、

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

右辺は積の微分法より、

$\frac{d}{dx} (3x \ln x) = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3$

(3) $\frac{dy}{dx}$ について解く：

$\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3)$

(4) $y = x^{3x}$ を代入する：

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3 \ln x + 3)$

$= 3x^{3x} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$