問題は2つの部分からなります。 (1) 数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置が $x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t$ であるとき、Pが向きを変える時刻を求める問題です。 (2) Pはt=0で原点を出発するが、再び原点に戻ってくるまでに動いた距離を求める問題です。 (3) 球の面積Sが毎秒 $32\pi cm^2$ の割合で増加しているとき、半径rが$\sqrt{2} cm$ となった瞬間の半径rの増加速度と体積Vの増加速度を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの部分からなります。

(1) 数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置が $x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t$ であるとき、Pが向きを変える時刻を求める問題です。

(2) Pはt=0で原点を出発するが、再び原点に戻ってくるまでに動いた距離を求める問題です。

(3) 球の面積Sが毎秒 $32\pi cm^2$ の割合で増加しているとき、半径rが$\sqrt{2} cm$ となった瞬間の半径rの増加速度と体積Vの増加速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) Pが向きを変える時刻は、速度が0になる時刻です。

速度$v(t)$ は $x(t)$ の時間微分なので、

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -t^2 + 6t + 16$

$v(t) = 0$ となるtを求めます。

$-t^2 + 6t + 16 = 0$

$t^2 - 6t - 16 = 0$

$(t-8)(t+2) = 0$

$t = 8, -2$

$t \geq 0$ より $t = 8$

よって、向きを変える時刻は $t = 8$ です。

(2) Pが再び原点に戻る時刻を求めます。

$x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 16t = 0$

$t(-\frac{1}{3}t^2 + 3t + 16) = 0$

$t=0$または$-\frac{1}{3}t^2 + 3t + 16 = 0$

$t^2 - 9t - 48 = 0$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 192}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{273}}{2}$

$t>0$なので、$t = \frac{9 + \sqrt{273}}{2}$

t=0からt=8までの移動距離は、

$x(8) = -\frac{1}{3}(8)^3 + 3(8)^2 + 16(8) = -\frac{512}{3} + 192 + 128 = -\frac{512}{3} + 320 = \frac{-512+960}{3} = \frac{448}{3}$

t=8からt=$\frac{9 + \sqrt{273}}{2}$ までの移動距離は、

$x(\frac{9 + \sqrt{273}}{2}) = 0$

$x(8) = \frac{448}{3}$

移動距離は$\frac{448}{3} + \frac{448}{3} = \frac{896}{3}$

(3) 球の面積 $S = 4\pi r^2$

$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$

$\frac{dS}{dt} = 32\pi$ のとき、$r = \sqrt{2}$

$32\pi = 8\pi \sqrt{2} \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{32\pi}{8\pi \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

球の体積 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$

$r = \sqrt{2}$ のとき、$\frac{dr}{dt} = 2\sqrt{2}$ なので、

$\frac{dV}{dt} = 4\pi (\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) = 4\pi(2)(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2}\pi$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 896

(3) 2√2, 16√2π