$\frac{\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}$を計算します。

1. 問題の内容

$\frac{\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}$を計算します。

2. 解き方の手順

$\arcsin(x)$ は $y = \arcsin(x)$ ならば $x = \sin(y)$ となる関数です。

$\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$ の値を求めます。

$\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = y$ とすると、$\sin(y) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ となります。

ここで、角度 $y$ は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えます。

$x$ が小さい時、$\arcsin(x) \approx x$ が成り立ちます。

したがって、$\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \approx -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ と近似できます。

$\frac{\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}} \approx \frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}} = 1$

しかし、$x$ が小さいときの近似を用いると、問題の意図に沿わない可能性があるため、ロピタルの定理を用いて厳密に計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x}$ を求めることを考えます。これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$

したがって、

$\frac{\arcsin\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}{-\frac{1}{2\sqrt{2}}} \approx 1$ となります。

正確な値を求めるため、電卓等を使用すると、

$\arcsin(-1/(2\sqrt{2})) \approx -0.361367$ (ラジアン)

$-1/(2\sqrt{2}) \approx -0.353553$

$\frac{-0.361367}{-0.353553} \approx 1.02211$

3. 最終的な答え

1.02211