$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (3) $\sin \theta - \cos \theta$ ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$

ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ を求める。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = - \frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を求める。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta) (1 - \sin \theta \cos \theta)$

$= \frac{1}{3} (1 - (-\frac{4}{9})) = \frac{1}{3} (1 + \frac{4}{9})$

$= \frac{1}{3} (\frac{13}{9}) = \frac{13}{27}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$ を求める。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$= 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 (-\frac{4}{9}) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{17}{9}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{3}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $\sin \theta \ge 0$ である。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3} > 0$ より、$\cos \theta$ は正または負の値をとる可能性がある。

もし $\theta$ が鋭角の場合, $\sin \theta > \cos \theta$ とは限らないため, 符号は決定できない。

もし $\theta$ が鈍角の場合, $\sin \theta > 0$, $\cos \theta < 0$ なので、$\sin \theta - \cos \theta > 0$となる。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$

$\sin \theta, \cos \theta$ は $x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{4}{9} = 0$ の解

$9x^2 - 3x - 4 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{18} = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}$

$\sin \theta > 0$ より $\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$

$\cos \theta < 0$ より $\cos \theta = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{6} - \frac{1 - \sqrt{17}}{6} = \frac{2 \sqrt{17}}{6} = \frac{\sqrt{17}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = - \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{3}$