以下の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$ (2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$ (4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ (5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$

以下に、与えられた問題の解き方と答えを示します。

1. 問題の内容

以下の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x$

(2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$

(5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$

2. 解き方の手順

(1) $x$ が $-\infty$ に近づくとき、$2^x$ は $0$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$

(2) $x$ が $\infty$ に近づくとき、$3^x$ は $\infty$ に近づきます。

したがって、$3^{-x} = \frac{1}{3^x}$ は $0$ に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} 3^{-x} = 0$

(3) $x$ が $\infty$ に近づくとき、$\log_2 x$ は $\infty$ に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \log_2 x = \infty$

(4) $\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log x}{\log \frac{1}{3}} = \frac{\log x}{-\log 3} = -\frac{\log x}{\log 3}$

$x$ が $+0$ に近づくとき、$\log x$ は $-\infty$ に近づきます。

したがって、$-\frac{\log x}{\log 3}$ は $\infty$ に近づきます。

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \infty$

(5) $x$ が $\infty$ に近づくとき、$3^x$ も $2^x$ も $\infty$ に近づきます。

しかし、$3^x$ は $2^x$ よりも速く $\infty$ に近づくため、$3^x - 2^x$ は $\infty$ に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x) = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} 3^{-x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \log_2 x = \infty$

(4) $\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \infty$

(5) $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x) = \infty$