与えられた数列の和を求める問題です。数列の一般項は、$a_k = \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ であり、初項から第n項までの和 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列の一般項は、$a_k = \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ であり、初項から第n項までの和 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、一般項を部分分数分解します。

$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$ とおきます。

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ をかけると、

$3 = A(2k+1) + B(2k-1)$ となります。

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$3 = A(2)$, よって $A = \frac{3}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$3 = B(-2)$, よって $B = -\frac{3}{2}$

したがって、

$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

これを用いて、和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$= \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

この和はtelescoping sum（望遠鏡和）になっているので、書き下してみると、

$\frac{3}{2}\left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

となり、多くの項が打ち消しあって、

$\frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{2n+1-1}{2n+1}\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{3n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{3n}{2n+1}$