関数 $f(x) = x^3$ を定義に従って微分する過程で、空欄になっている箇所を埋める問題です。具体的には、以下の式変形における①と②に当てはまる数値を求めます。 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + ① hx^2 + ② h^2 x + h^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(① x^2 + ② hx + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} (① x^2 + ② hx + h^2) = ① x^2$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ を定義に従って微分する過程で、空欄になっている箇所を埋める問題です。具体的には、以下の式変形における①と②に当てはまる数値を求めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + ① hx^2 + ② h^2 x + h^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(① x^2 + ② hx + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} (① x^2 + ② hx + h^2) = ① x^2$

2. 解き方の手順

まず、$(x+h)^3$ を展開します。

$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

これを元の式に代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

したがって、$x^3 + ① hx^2 + ② h^2 x + h^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ より、

① = 3

② = 3

次に、この結果を用いて残りの部分を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$

$h \to 0$ のとき、$3xh \to 0$ かつ $h^2 \to 0$ なので、

$f'(x) = 3x^2$

3. 最終的な答え

① = 3

② = 3