関数 $y = x^{\sqrt{x}}$ ($x > 0$) の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\sqrt{x}}$ ($x > 0$) の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\sqrt{x}})$

$\ln y = \sqrt{x} \ln x$

次に、両辺を $x$ について微分します。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} \ln x)$

左辺は合成関数の微分法を用いて、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

右辺は積の微分法を用いて、

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \ln x) = (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

$y = x^{\sqrt{x}}$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\sqrt{x}} (\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\sqrt{x}} (\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}$