(1) 曲線 $y = x^3 - ax^2$ （$a$ は正の定数）において、接線の傾きが $-a$ となる点がただ1つしか存在しないとき、$a$ の値を求め、その点の接線の方程式を求める。 (2) 2つの放物線 $y = x^2 + ax + a$ と $y = -2x^2 + x + 1$ が点Aを共有し、その点で共通な接線をもつとき、点Aの座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^3 - ax^2$ （$a$ は正の定数）において、接線の傾きが $-a$ となる点がただ1つしか存在しないとき、$a$ の値を求め、その点の接線の方程式を求める。

(2) 2つの放物線 $y = x^2 + ax + a$ と $y = -2x^2 + x + 1$ が点Aを共有し、その点で共通な接線をもつとき、点Aの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^3 - ax^2$ を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = 3x^2 - 2ax$

接線の傾きが $-a$ となる点がただ1つ存在するので、

$3x^2 - 2ax = -a$

$3x^2 - 2ax + a = 0$

この二次方程式がただ1つの解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4a^2 - 12a = 4a(a-3) = 0$

$a > 0$ より、$a = 3$

$3x^2 - 6x + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 3 \cdot 1^2 = 1 - 3 = -2$

接点の座標は $(1, -2)$

接線の方程式は、$y - (-2) = -3(x-1)$

$y + 2 = -3x + 3$

$y = -3x + 1$

(2)

点Aの座標を $(t, u)$ とする。

$u = t^2 + at + a$

$u = -2t^2 + t + 1$

$t^2 + at + a = -2t^2 + t + 1$

$3t^2 + (a-1)t + (a-1) = 0$ ...(1)

$y' = 2x + a$

$y' = -4x + 1$

$2t + a = -4t + 1$

$6t = 1 - a$

$t = \frac{1-a}{6}$ ...(2)

(2) を (1) に代入する。

$3(\frac{1-a}{6})^2 + (a-1)(\frac{1-a}{6}) + (a-1) = 0$

$\frac{(1-a)^2}{12} - \frac{(1-a)^2}{6} + (a-1) = 0$

$(1-a)^2 - 2(1-a)^2 + 12(a-1) = 0$

$-(1-a)^2 + 12(a-1) = 0$

$-(1-2a+a^2) + 12a - 12 = 0$

$-1+2a-a^2 + 12a - 12 = 0$

$-a^2 + 14a - 13 = 0$

$a^2 - 14a + 13 = 0$

$(a-13)(a-1) = 0$

$a = 13, 1$

$a = 13$ のとき、$t = \frac{1-13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$u = (-2)^2 + 13(-2) + 13 = 4 - 26 + 13 = -9$

$A = (-2, -9)$

$a = 1$ のとき、$t = \frac{1-1}{6} = 0$

$u = 0^2 + 1 \cdot 0 + 1 = 1$

$A = (0, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$、接線の方程式: $y = -3x + 1$

(2) $A = (-2, -9)$ または $A = (0, 1)$