与えられた式を$t$で微分し、簡略化する問題です。式は $e^{-3t} \frac{d}{dt} \{ e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t) \}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた式を$t$で微分し、簡略化する問題です。式は

$e^{-3t} \frac{d}{dt} \{ e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t) \}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t)$を$t$について微分します。積の微分法則を使用します。

$\frac{d}{dt}(uv) = u'v + uv'$

ここで、$u=e^{3t}$、$v = (\sin 3t + \cos 3t)$とおきます。

$u' = \frac{d}{dt}e^{3t} = 3e^{3t}$

$v' = \frac{d}{dt}(\sin 3t + \cos 3t) = 3\cos 3t - 3\sin 3t$

よって、

$\frac{d}{dt} \{ e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t) \} = 3e^{3t}(\sin 3t + \cos 3t) + e^{3t}(3\cos 3t - 3\sin 3t)$

$= 3e^{3t}\sin 3t + 3e^{3t}\cos 3t + 3e^{3t}\cos 3t - 3e^{3t}\sin 3t$

$= 6e^{3t}\cos 3t$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$e^{-3t} \cdot 6e^{3t}\cos 3t$

$e^{-3t}$と$e^{3t}$は互いに逆数なので、$e^{-3t}e^{3t} = 1$です。

3. 最終的な答え

最終的な答えは

$6\cos 3t$

となります。