関数 $f(x) = x^3$ を定義に従って微分し、空欄に当てはまる数値を答える問題です。微分係数の定義式 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を用いて、$f(x) = x^3$ の導関数を求める過程が示されており、途中式の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ を定義に従って微分し、空欄に当てはまる数値を答える問題です。微分係数の定義式 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を用いて、$f(x) = x^3$ の導関数を求める過程が示されており、途中式の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h) = (x+h)^3$ を展開します。

$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

この結果を用いて、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

次に、分子の各項を $h$ で割ります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$

$h \to 0$ の極限を取ると、$3xh$ と $h^2$ は $0$ に近づきます。

$f'(x) = 3x^2$

したがって、空欄を埋めると以下のようになります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + \boxed{3}hx^2 + \boxed{3}h^2x+h^3 - x^3}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} ( \boxed{3}x^2 + \boxed{3}xh + h^2)$

$f'(x) = 3x^2$

3. 最終的な答え

① = 3

② = 3