関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$ のグラフを描くために、極値と変曲点を求め、増減表の空欄を埋める問題です。⑧〜⑬に当てはまる数値を答えます。⑧〜⑪は1〜6の中から選択します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$ のグラフを描くために、極値と変曲点を求め、増減表の空欄を埋める問題です。⑧〜⑬に当てはまる数値を答えます。⑧〜⑪は1〜6の中から選択します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた導関数と二階導関数を確認します。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x-1)(x-3)$

$f''(x) = -6x + 12 = -6(x-2)$

次に、増減表を埋めていきます。

* x < 1 のとき、f'(x) < 0 なので、⑧には 2(-)が入ります。

* 1 < x < 2 のとき、f''(x) > 0 なので、⑨には 1(+)が入ります。

* $f(1) = -(1)^3 + 6(1)^2 - 9(1) = -1 + 6 - 9 = -4$　なので、⑩には -4が入ります。

* $f(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 - 9(3) = -27 + 54 - 27 = 0$　なので、⑪には 0が入ります。

* f'(x)=0となるx=1,3でf'(x)の符号が変わります。x=1でf'(x)が負から正に変わるので、x=1で極小値をとり、その値は-4です。x=3でf'(x)が正から負に変わるので、x=3で極大値をとり、その値は0です。よって、極大値は0なので⑫は0です。

* 変曲点はf''(x)=0となるx=2のときなので、変曲点のy座標は$f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) = -8 + 24 - 18 = -2$より、-2なので、⑬は-2です。

3. 最終的な答え

* ⑧：2

* ⑨：1

* ⑩：-4

* ⑪：0

* ⑫：0

* ⑬：-2